Algoritmos de optimalidad algebraica y de cuasi-polinomialidad para curvas racionales

Resumo

El marco temático de este trabajo se encuadra dentro del Calculo Simbólico y de los fundamentos matemáticos del Diseño Geométrico Asistido por Ordenador(c,a.g.d); es decir en la construcción, análisis y diseño de metodos efectivos y algoritmos aproximados o híbridos simbolico numricos para la manipulación algebraica de curvas y superficies y sus aplicaciones, y más concretamente en el campo de la optimalidd algebraica y del tratamiento de la polinomialidad y cuasi-polinomialidad de curvas racionales. Por una parte, se desarrollan algoritmos simbólicos para la resolución de problemas computacionales en el ámbito de las curvas algebraicas racionales (véase Capítulos 1 y 2) y por otra en el desarrollo de algoritmos aproximados para este tipo de objetos geométricos (véase Capitulo 3); con especial énfasis en el caso polinomial y cuasi polinomial. Por tanto, os principales objetivos alcanzados en esta memoria, corresponden a las dos líneas mencionadas anteriormente y se especifican por capítulos a continuación. En el Capitulo 1, se aborda el problema de la K-definibilidad de curvas racionales como paso previo en el estudio de la K-optimalidad algebraica y el estudio de una nueva clase de curvas racionales, denominadas curvas cuasi-polinomiales, así como la resolución del problema de la K- optimalidad algebraica para esta clase particular de curvas. De forma mas concreta, se caracteriza la K-definibilidad de una curva racional definida parametricamente, a través de la inversa de la parametrización dada y de la variedad parametrica de descenso de weil. Como consecuencia se presenta un nuevo método que permite resolver esta cuestión. Para las curvas cuasi-polinomiales, se introducen y establecen las propiedades fundamentales de las mismas y se desarrollan los algoritmos basicos. Finalmente, se analizan las cuestiones relacionadas con K- optimalidad Algebraica de Curvas Cuasi-Polinomiales, probando que el problema se reduce a decidir si la componente 1 dimensional de la variedad paramétrica de Weil, asociada a la parametrización de una curva K-definible, es una recta K-definible, y como consecuencia, desarrollando un algoritmo que decide y reparametriza, en caso afirmativo K-cuasi-polinomialmente, este tipo de curvas. En el Capitulo2, se analiza el problema de la K- optimalidad algebraica para el caso general de curvas racionales. Para ello, se estudia y utiliza como herramienta básica un tipo especial de curvas, introducidas por C. Andradas, T. Recio y J.R. Sendra en 1999 y que se denominan hipercirculos, Para ello, se presenta un estudio detallado de las principales propiedades algebraicas y geométricas de los hipercirculos, proporcionando un algoritmo para el calculo de una unidad asociada a tales curvas. Asimismo, del análisis de estas propiedades se presenta una caracterización paramétrica de aquellas curvas racionales que son hipercirculos. Finalmente se muestra como aplicar los anteriores resultados al problema de la K- optimalidad algebraica de curvas racionales, obteniendo un algoritmo que decide si una parametrización racional propia dad P(t) en L(t)n, donde L=K(alpha) y [K(alpha):K]=d, define una curva K- parametrizable y en caso afirmativo se obtiene una parametrización Q(t) en K(t)n de la misma. En el Capitulo 3 se considera el problema de la parametrización aproximada finito-polinomial a trozos de una curva plana racional real. De forma mas precisa, se presenta un algoritmo tal que si (t) en R(t)2 es una parametrización racional de una curva plana no polinomial C, y epsilon <0 es la tolerancia de trabajo, el algoritmo determina una descomposición finita D del espacio del parámetro y, para cada intervalo I de D, con la posible excepción de algunos intervalos de aislamiento se calcula una parametrización polinomial P_I(t) tal que los trozos de curvas C_I=P(t) para t en I, y C_I=P_I(t) para t en I, estan próximos; concretamente, C_I esta en la region offsset de C_I* a distancia menor o igual que 2 1/2epsilon y recíprocamente. Además, como opción, para un número natural N cumpliendo ciertas condiciones mínimas, el algoritmo genera parametrizaciones polinomiales cuyos grados están acotados por N.