Algoritmos eficientes en geometría algebraica real. Fórmulas para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas

Résumé

La memoria está dedicada al desarrollo y estudio de nuevos algoritmos eficientes dirigidos al análisis del conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones algebraicas, Para ello, se distinguen siete capítulos, distribuidos en tres bloques, así como tres apéndices. El primer y segundo bloques analizan el caso cero-dimensional desde dos puntos de vista distintos. El bloque primero utiliza métodos directos, mientras que el segundo bloque enfoca el problema mediante la reducción del mismo al caso univariado. En los capítulos 1 y 2 se muestra como el problema se puede reducir al ámbito del álgebra lineal, utilizando la asignatura y el rango de la matriz de la traza; bien directamente con el método de Hermite, o con la generalización del concepto de bezoutiano al caso multivariable. En los capítulos 3 y 4 la idea básica consiste en determinar un polinomio univariable cuyas raíces estén en correspondencia con las soluciones del sistema de ecuaciones algebraicas cero-dimensional. El tercer bloque está dedicado al caso de dimensión positiva. En este contexto, se presenta la noción de grado topológico y se muestra su aplicación al estudio del conjunto de soluciones reales, de un sistema de ecuaciones algebraicas, en el interior de un región dada.