Números primos especiales y sus aplicaciones criptográficas

Resum

El objeto de esta memoria es el estudio de ciertas clases de primos que, por estar dotados de propiedades especiales, resultan de interés para su uso en los criptosistemas de clave pública. Las clases de primos consideradas son las siguientes: a.- Los primos 1 - seguros, determinados por la siguiente propiedad: un primo p se denomina 1 - seguro si y sólo si p = 2q + 1 donde q es otro primo. b.- Los primos 2-seguros, determinados por la siguiente propiedad : un primo p se dice 2- seguro si p = 2q + 1 y además q es 1-seguro. c.- Los primos robustos. Sin entrar en definiciones muy rigurosas, podemos decir que esta clase de primos presenta varias variantes, que comparten entre sí la propiedad de que si p es un primo robusto entonces p + 1 y p 1 contienen factores primos "grandes"; y además algunos de estos factores presentan a su vez esta misma propiedad. En este trabajo se generalizan las definiciones de los puntos 1 y 2 introduciendo la noción de primo k- seguro de signatura arbitraria. Por ejemplo, de acuerdo con tal definición existen dos clases de primos 1- seguros: los de signatura + 1, que coinciden con los definidos en el punto 1 anterior; y los de signatura 1, que se escriben como 2q 1, donde q es otro primo. Obsérvese que la condición "p + 1 contiene un factor primo grande" se verifica de modo óptimo cuando p es un primo 1 - seguro de signatura 1. Análogamente, la condición "p 1 contiene un factor primo grande" se verifica de modo óptimo cuando p es un primo 1-seguro de signatura + 1. Se introduce una clase novedosa de primos robustos designados como "primos robustos óptimos". La idea consiste en definir una cierta función de variable discreta que permita caracterizar el grado de "robustez" de un primo robusto. Para cada clase de primos propuesta se estudian su distribución, su función recuento, la probabilidad de seleccionar uno de ellos aleatoriamente dentro del conjunto de los enteros positivos y el tiempo de computación asociado a la extracción aleatoria de uno de ellos. Con estos datos, es sencillo predecir un parámetro de importancia vital para los criptosistemas de clave pública; a saber, el tiempo necesario para el cambio de las claves, estimado con suficiente precisión: un buen sistema criptográfico para el que fuera muy costosa la modificación de claves resultaría inútil en la práctica. Muchos de los resultados obtenidos no han sido demostrados rigurosamente, si bien todos ellos se apoyan en conjeturas que, establecidas por autores clásicos, están confirmadas por múltiples experimentos numéricos dentro de los rangos que se utilizan en las aplicaciones actuales: conviene no perder de vista que las demostraciones de las conjeturas clásicas en teoría de números avanzan muy lentamente. El interés de esta memoria radica en que proporciona estimaciones heurísticas fiables acerca de los tiempos de computación necesarios para obtener primos de cada una de las clases antes referidas. Se presentan, por último, las aplicaciones prácticas junto con experimentos numéricos que constituyen la confirmación práctica de la exactitud de las predicciones teóricas.