Affine equivalences, similarities and symmetries of special types of curves and surfaces

Resumen

El tema central de este trabajo es detectar y calcular equivalencias afines entre dos curvas y/o superficies biracionalmente parametrizadas con propiedades específicas. En el Capítulo 1, proveemos un estado del arte sobre el tema, haciendo una revisión de publicaciones recientes que abordan este problema tanto para curvas como para superficies algebraicas definidas implícita o paramétricamente. En el Capítulo 2 desarrollamos un método para calcular todas las equivalencias afines entre dos superficies racionales regladas, definidas por parametrizaciones racionales y propias (inyectivas en casi todo punto), sin calcular ni hacer uso de sus ecuaciones implícitas. La idea fundamental es encontrar la forma de la transformación de Cremona equivalente en el espacio de parámetros, y se basa en la resolución de sistemas polinómicos. En el Capítulo 3, describimos un algoritmo eficiente para detectar si dos curvas trigonométricas dadas, es decir, curvas paramétricas cuyas componentes son series truncadas de Fourier, en cualquier dimensión, son afínmente equivalentes. En este caso abordamos tanto equivalencias exactas, como aproximadas. En el caso exacto el algoritmo se reduce al cálculo de un máximo común divisor univariado, mientras que, en el caso aproximado, donde los coeficientes de las parametrizaciones están dados con precisión finita, es necesario calcular un gcd aproximado. Finalmente, en el Capítulo 4 estudiamos la detección de semejanzas entre dos curvas paramétricas acotadas y planas con un enfoque particular para curvas cerradas. El algoritmo es válido para parametrizaciones completamente generales, no solo racionales, y también se considera en el caso aproximado. La estrategia se basa en el cálculo de los centros de gravedad y tensores de inercia de las curvas o de las regiones planas encerradas por las curvas. Tanto los centros de gravedad como los tensores de inercia tienen buenas propiedades cuando se les aplica una semejanza. En particular, un centro de gravedad es enviado en el otro y las matrices que representan los tensores de inercia satisfacen una relación simple. Utilizando ambas identidades, y salvo en ciertos casos patológicos, las semejanzas pueden determinarse. Esta idea puede generalizarse a curvas de cualquier dimensión y también a superficies.