Effective algorithms for the study of the degree of algebraic varieties in offsetting processes

Resum

El trabajo que se presenta en esta tesis pertenece al Área del Cálculo Simbólico, y en particular, al subárea de la Geometría Algebraica (Simbólica) Efectiva para curvas y superficies, Concretamente, en esta tesis se estudia la estructura de grados del polinomio multivariable que define el objeto geométrico que resulta al aplicar procesos de offsetting. Es decir, estudiamos su grado total y sus grados parciales con respecto a cada una de las variables, incluyendo la variable distancia. Para llevar a cabo este objetivo, la tesis se compone de cuatro capítulos y dos apéndices, cuya estructura se detalla a continuación: • En el Capítulo 1, titulado Preliminaries and Statement of the Problem, se introducen las nociones de offset genérica y de polinomio de la offset genérica, junto con sus propiedades básicas. En este capítulo se sientan las bases teóricas de nuestro objeto de estudio. En particular, se prueba la propiedad fundamental del polinomio de la offset genérica,que afirma que dicho polinomio especializa bien; es decir, para casi todo valor que se asigne a la variable distancia la especialización del polinomio ,de la offset genérica, es el polinomio que define a la offset para ese valor concreto tomado como distancia. Una vez establecida dicha conexión con la teoría clásica, se define el problema central de esta tesis, que es el problema del grado de la offset genérica. Además se presenta la notación y terminología asociadas a ese problema. Se incluyen también en este capítulo algunos lemas técnicos, que tratan sobre la aplicación de la resultante para el análisis de problemas de intersección de curvas. • El Capítulo 2, titulado Total Degree Formulae for Plane Curves, trata del problema del grado total para la offset genérica de una curva plana. Nuestro estudio incluye el caso general en el que la curva viene dada por su ecuación implícita, y también, para curvas racionales, el caso de curvas dadas paramétricamente. En ambos casos obtenemos fórmulas eficientes para el grado total de la offset genérica. Además se presentan otras fórmulas que pueden utilizarse para el estudio teórico del grado total de la offset. En este capítulo se introducen las nociones de sistema offset-recta, curva auxiliar y puntos intrusos. Estas tres nociones juegan un papel esencial en nuestro tratamiento del problema del grado. Estas nociones se utilizan para establecer un marco común para el desarrollo de fórmulas para el grado basadas en resultantes. En el siguiente capítulo ese marco común se aplica para obtener diversas fórmulas de grado. • El Capítulo 3, titulado Partial Degree Formulae for Plane Curves, es una continuación natural del capítulo precedente. Aplicando la estrategia, métodos y lenguaje del Capítulo 2, en este capítulo se completa el análisis de la estructura de grados de la offset genérica para curvas planas. En concreto, obtenemos fórmulas para calcular cualquier grado parcial de la offset genérica, y también el grado con respecto a la variable distancia. Estas fórmulas cubren tanto el caso implícito como el caso paramétrico. Además se muestran otras fórmulas que pueden utilizarse para el análisis teórico del problema del grado. • El Capítulo 4, titulado Degree Formulae for Rational Surfaces, trata el problema del grado para superficies. La mayor parte del capítulo se dedica a la demostración de una fórmula de grado total para superficies racionales, dadas paramétricamente. Esta fórmula puede aplicarse siempre que la superficie generadora satisfaga cierta condición muy general. En concreto, tenemos que asumir que existe a lo sumo una cantidad finita de valores de la distancia para los que la offset de la superficie pasa por el origen. La fórmula requiere el cálculo de una resultante generalizada univariada, y del máximo común divisor de polinomios con coeficientes simbólicos. La sección final de este capítulo contiene un enfoque alternativo para el estudio de la estructura de grados de una superficie de revolución, independiente de los resultados previos de este capítulo. Con este enfoque se obtiene una solución completa y efectiva para el problema del grado en este caso. • La tesis se completa con dos apéndices, que contienen, respectivamente, un resumen de las fórmulas de grado obtenidas en esta tesis y los resultados de algunos cálculos, correspondientes a demostraciones o ejemplos, que, por su longitud, resulta más conveniente incluir aquí.